ВОПРОСЫ
к экзамену по математическому анализу (4 семестр)
1. Элементарные ФКП. Определения и примеры отображений
2. Определение производной и дифференциала функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана.
3. Критерий дифференцируемости функций.
4. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного.
5. Сопряженные гармонические функции. Примеры нахождения.
6. Интеграл функции комплексного переменного. Определение и свойства.
7. Интегральная теорема Коши.
8. Замечания и следствия из интегральной теоремы Коши.
9. Теорема о существовании первообразной аналитической функции. Формула Ньютона—Лейбница.
10. Интегральное представление производной аналитической функции.
11. Замечания и следствия из интегральной формулы Коши для производной аналитической функции.
12. Теоремы Лиувилля и Морера, алгебраические следствия.
13. Теоремы Вейерштрасса о рядах для аналитических функций.
14. Функциональные ряды в С. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
15. Степенные ряды. Определения и свойства. Примеры.
16. Критерий регулярности функции комплексного переменного. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора.
17. Теорема об интегральном представлении производной регулярной функции и замечания к ней.
18. Теорема Лиувилля и алгебраические следствия из нее.
19. Теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций
20. Достаточные условия регулярности функции комплексного переменного.
21. Нули регулярной функции. Определение, свойства, примеры.
22. Теорема о нулях регулярной функции.
23. Теорема о единственности для регулярной функции, следствия и замечания к ней.
24. Ряд Лорана. Определение, множество сходимости.
25. Теорема Лорана.
26. Свойства ряда Лорана.
27. Ряд Лорана в окрестности особой точки.
28. Классификация особых точек. Примеры.
29. Теорема о поведении функции комплексного переменного в окрестности устранимой особой точки и замечание к ней.
30. Теорема о поведении функции комплексного переменного в окрестности полюса. Следствия из нее и примеры.
31. Теорема Сохоцкого и замечания к ней.
32. Исследование типа бесконечно удаленной точки. Примеры.
33. Определение вычета.
34. Вычисление вычета в полюсе.
35. Вычет в бесконечно удаленной точке. Определение и вычисление.
36. Основная теорема о вычетах и замечания к ней. Теорема о сумме всех вычетов и следствие из нее.
37. Вычисление интегралов вида \int_0^{2\pi}R(\sin t,\cos t)dt.
38. Теорема о вычислении интегралов вида \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx, вспомогательная лемма, следствие и замечание к ней.
39. Теорема о вычислении интегралов вида вида \int_{-\infty}^{+\infty}e^{iax}f(x)dx, вспомогательные леммы и замечание к ней.
40. Формула представления главного значения v.p. \int_{-\infty}^{+\infty}e^{iax}f(x)dx, a>0.
41. Логарифмический вычет.
42. Принцип аргумента.
43. Теорема Руше. Следствие (основная теорема алгебры) из нее.
44. Оригинал и изображение. Определение, примеры, О-условия.
45. Теорема о достаточных условиях существования изображения и замечания к ней.
46. Вывод формул для изображений функций e^{at} и t^{\nu}.
47. Свойства изображений: линейность, теорема подобия, теорема запаздывания, теорема смещения.
48. Свойства изображений: теоремы об изорбражении производной, интегрировании оригинала, дифференцировании изображения, интегрировании изображения. Примеры.
49. Свертка функций. Теорема Бореля.
50. Интеграл Дюамеля.
51. Формула Меллина и замечания к ней.
52. Теорема об изображении произведения (следствие из формулы Меллина).
53. Условия существования оригинала. Теорема обращения.
54. Вычисление интеграла Меллина с помощью вычетов. Примеры.
55. I теорема разложения. Пример.
56. II теорема разложения. Примеры.
57. Решение стационарных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка методом операционного исчисления.
58. Применение интеграла Дюамеля.
59. Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с переменными коэффициентами методом операционного исчисления.
60. Решение систем стационарных дифференциальных уравнений методом операционного исчисления.
61. Решение стационарных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с начальными условиями в произвольной точке.
62. Решение интегральных уравнений Вольтерра типа свёртки.
63. Вычисление несобственных интегралов методом операционного исчисления.
64. Понятие об аналитическом продолжении.
65. Аналитическое продолжение элементарных функций.
66. Римановы поверхности.